정답 및 풀이

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(\displaystyle f ( x) \)가

\(\displaystyle f ( x)= { \begin {cases} ~x ^ {2} ,~~ & x \text{가 유리수}\\~0, & x \text{가 무리수}\end {cases} } \)

일 때, 함수 \(\displaystyle f \)는 다음을 만족한다.

\(\displaystyle 0 \leq \left| f ( x) \right| \leq x^2 \)     \(\displaystyle \cdots\cdots \) (i)

또, \(\displaystyle f (0)=0\)이므로 

\(\displaystyle f'(0)=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x  \rightarrow0} \frac{f(x)}{x}\)

이다. (i)에서 양변을 \(\displaystyle |x| \)로 나누면

\(\displaystyle 0 \leq \frac{ \left| f ( x) \right|}{\left|x \right| }\leq \frac{x^2}{|x|} =|x| \)

여기서 \(\displaystyle  \lim_{x \rightarrow 0} |x| =0\) 이므로

\(\displaystyle f'(0)= \lim_{x  \rightarrow0} \frac{f(x)}{x} =0\)

이다. 따라서 함수 \(\displaystyle f\)는 \(\displaystyle x=0\)에서 미분가능하고 \(\displaystyle f'(0)=0\)이다.