정답 (1) $\displaystyle \mathrm{T} ( k)=k-1 $, $\displaystyle \mathrm{S} ( k)=8-k $ (2) $\displaystyle 7 $

(1) $\displaystyle \frac {k ^ {3} -k+7} {k ^ {2} +k+1} $$\displaystyle =\mathrm{T} ( k)+ \frac {\mathrm{S} ( k)} {k ^ {2} +k+1} $에서

$\displaystyle \begin{align} \frac {k ^ {3} -k+7} {k ^ {2} +k+1} &= \frac { ( k-1) ( k ^ {2} +k+1)-k+8} {k ^ {2} +k+1} \\& =k-1+ \frac {-k+8} {k ^ {2} +k+1} \end{align} $

$\displaystyle \therefore ~\mathrm{T} ( k)=k-1,~\mathrm{S} ( k)= -k+8 $

(2) 준식이 정수가 되기 위해서는 

$\displaystyle \frac {-k+8} {k ^ {2} +k+1} ~\cdots\cdots~(\mathrm{i})$

이 정수가 되어야 하므로 먼저 분모가 분자보다 큰 범위를 찾아보자. 먼저 $\displaystyle {k ^ {2} +k+1} >0$이므로

$\displaystyle \left|-k+8\right| >{k ^ {2} +k+1}$

이어야 한다.

(i) $\displaystyle k \geq 8$일 때,

$\displaystyle k-8 > k^2 +k+1,~~ k^2 +9<0$

해가 없다.

(ii) $\displaystyle k < 8$일 때,

$\displaystyle 8-k > k^2 +k+1,~~ k^2 +2k-7<0$

이 부등식을 풀면

$ -1-2\sqrt{2}<k<-1+\sqrt{2}$

이고 $k$는 정수이므로 $k$의 값은 $-3,~-2,~-1,~0,~1$

이 $k$의 값을 (i)에 대입하여 정수가 되는 $k$의 값은 $\displaystyle k= -1,~0 $이다.

또, (i)이 정수가 되기 위해서는 분자가 $0$이면 되므로 $k=8$이다.

따라서 모든 $k$의 값의 합은 $7$이다.