정답 (1) 수학적 귀납법으로 증명하자.

\(\displaystyle \begin{align} &\int   _{} ^{} {f ^{ ( n)}  ( x)g ( x)dx} \\& =f ^{ ( n-1)} g ( x)-f ^{ ( n-2)} g '  ( x)+ \cdots + ( -1) ^{n} \int   _{} ^{} {} f ( x)g ^{ ( n)}  ( x)dx \end{align}\)

\(\displaystyle n=1 \)일 때 좌변은 부분적분을 하면

\(\displaystyle \int   _{} ^{} {f '  ( x)g ( x)dx} =f ( x)g ( x)- \int   _{} ^{} {} f ( x)g '  ( x)dx \)

우변은 \(\displaystyle =f ^{ ( 0)} g ( x)+ ( -1) ^{1} \int   _{} ^{} {} f ( x)g ^{ ( 1)}  ( x)dx \)\(\displaystyle =f ( x)g ( x)- \int   _{} ^{} {f ( x)g '  ( x)dx} \)이므로 성립한다.

\(\displaystyle n=k \)일 때 

\(\displaystyle \begin{align} & \int   _{} ^{} {f ^{ ( k)}  ( x)g ( x)dx} \\& =f ^{ ( k-1)} g ( x)-f ^{ ( k-2)} g '  ( x)+ \cdots + ( -1) ^{k} \int   _{} ^{} {} f ( x)g ^{ ( k)}  ( x)dx \end{align}\)

가 성립한다고 가정하면 \(\displaystyle \int   _{} ^{} {f ^{ ( k+1)}  ( x)g ( x)dx} \)을 부분적분하면

\(\displaystyle \int   _{} ^{} {f ^{ ( k+1)}  ( x)g ( x)dx} =f ^{ ( k)}  ( x)g ( x)- \int   _{} ^{} {} f ^{ ( k)}  ( x)g '  ( x)dx \)

이고 위의 \(\displaystyle n=k \)일 때의 식에서 \(\displaystyle g ( x) \)는 임의의 적분가능한 함수면 다 성립므로 \(\displaystyle g ( x) \) 대신 \(\displaystyle g '  ( x) \)를 대입하면

\(\displaystyle \begin{align}  \int  _{} ^{} {f ^{ ( k+1)} ( x)g ( x)dx} &=f ^{ ( k)} ( x)g ( x)- \int  _{} ^{} {} f ^{ ( k)} ( x)g ' ( x)dx \\& =f ^{ ( k)} ( x)g ( x)-   \left\{ f ^{ ( k-1)} g ' ( x)-f ^{ ( k-2)} g ^{ ( 2)} ( x)+ \cdots \right. \\& +\left. ( -1) ^{k} \int  _{} ^{} {} f ( x)g ^{ ( k+1)} ( x)dx\right\} \\& =f ^{ ( k)} ( x)g ( x)-f ^{ ( k-1)} g ' ( x)+   f ^{ ( k-2)} g ^{ ( 2)} ( x)- \cdots \\& + ( -1) ^{k+1} \int  _{} ^{} {} f ( x)g ^{ ( k+1)} ( x)dx   \end{align}\)

이므로 \(\displaystyle n=k+1 \)일 때도 성립한다.

 

(2) ① \(\displaystyle -e ^{-x} \left (  x ^{2} +2xx+2 \right) +C \) (\(\displaystyle C \)는 상수)

② \(\displaystyle - \frac {1} {2} e ^{-x} \left (  \sin  x+\cos x \right) +C \)(\(\displaystyle C \)는 상수)

③ \(\displaystyle - \frac {1} {2} e ^{-x} \left\{ x \sin  x+ \left (  x+1 \right) \cos x \right\} +C \)(\(\displaystyle C \)는 상수)