정답

먼저 $\displaystyle \delta_1=\frac{a}{2}$라 두면

$\displaystyle |x-a|<\frac {| a|} 2 ~(x\neq a)$     $\displaystyle \frac {|a|} {2} < x < \frac {3|a|}{2}, ~x \neq a$

$\displaystyle \epsilon>0$이 주어졌다고 하자. 그러면

$\displaystyle \left|f(x)- a^2 \right|=\left|x+a\right| \left|x-a\right| \leq ( | x|+|a|)\left|x-a \right|< \frac{5|a|}{2}\left|x-a\right|<\epsilon$

에서 $\displaystyle \delta_2 = \frac{5|a|}{2}$라 두면 된다. 즉,

이제 증명을 적으면

임의의 $\displaystyle \epsilon>0$에 대하여 적당한 $\displaystyle \delta =\min \left\{ \frac{|a|}{2},~\frac{5|a|}{2}\right\}$가 존재하여

$\displaystyle 0 < |x-a|<\delta$이면 $\displaystyle \left|f(x)-a^2 \right| <\epsilon $

따라서 $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=a^2$