정답 $\displaystyle y= 3x-\frac{9}{4}$

이차함수 $\displaystyle y=x^2-4 a x+4 a^2+6 a$와 직선 $\displaystyle y=m x+n$에서 $\displaystyle y$를 소거하여 정리하면

$\displaystyle x^2-4 a x+4 a^2+6 a=m x+n$

$\displaystyle x^2-(4 a+m) x+4 a^2+6 a-n=0$

이 방정식의 판별식을 $\displaystyle D$라 하면 $\displaystyle D=0$

$\displaystyle D=(4a+m)^2 -4(4a^2 +6a -n)=0$

$\displaystyle 8am +m^2 -24a+4n=0$   $\displaystyle a(8m-24) +m^2 +4n=0$

이 식이 임의의 $\displaystyle a$에 대하여 성립하므로 $\displaystyle a$에 대한 항등식이다. 따라서

$\displaystyle 8m-24=0,~ m^2 +4n=0$

$\displaystyle \therefore~ m= 3,~~n= -\frac{9}{4}$

따라서 $\displaystyle y= 3x-\frac{9}{4}$