(1) $\displaystyle  \log _a b^x=x \log _a b~(x$ 는 실수 $)$에서 우변 $\displaystyle  \log _a b  $을 $\displaystyle M$이라 두자.

$\displaystyle  \log _a b =M $

로그의 정의에 의해

$\displaystyle   b =a^M$

양변을 $\displaystyle   {x}$제곱하면

$\displaystyle   b^x=\left(a^M\right)^{ {x}}= a^{ {M}{x}}$

$\displaystyle \therefore~  b^x= a^{{M}{x}}$

로그의 정의에 의해

$\displaystyle   {M}{x}= \log_a b^x$

즉, 여기에 $\displaystyle  \log _a b =M$를 대입하면

$\displaystyle  x \log_a b = \log_a b^x$

(2) $\displaystyle  \log _a b =p ,~ \log _c a=q $라 두면 로그의 정의에 의해

$\displaystyle  b=a^p ~ a= c^q $

이므로  $\displaystyle  a$를 소거하면

$\displaystyle  b=a^p   =\left(c^q \right)^p =c^{pq} $

로그의 정의에 의해

$\displaystyle  pq= log_c b$

여기에 $\displaystyle  \log _a b =p ,~ \log _c a=q $를 대입하면

$\displaystyle  \therefore~\log _a b \times  \log _c a= \log_c b $