(1) 복소수 $\displaystyle z$를 $\displaystyle z=p+q i$ ($\displaystyle p,~q$는 실수)라 두자. 또,  $\displaystyle \alpha$는 실수이므로 $\displaystyle \overline {\alpha}=\alpha$이므로

$\displaystyle \begin{aligned} \alpha \overline{z}& = \alpha \times \overline{p+qi}\\&= \alpha (p-qi) =\alpha p - \alpha p i \\&= \overline{\alpha p + \alpha p i} = \overline{\alpha (p+qi)}\\&= \overline{\alpha z} \end{aligned}$

(2) 복소수 $\displaystyle z$를 $\displaystyle z=p+q i$ ($\displaystyle p,~q$는 실수)라 두면

$\displaystyle \begin{aligned}   \overline{z^2}& = \overline{(p+qi)^2}\\&= \overline{ p^2 -q^2 +2pqi } =  p^2 -q^2 -2pqi   \\&=(p-q i)^2=(\overline{z})^2 \end{aligned}$

또,

$\displaystyle \begin{aligned}   \overline{z^3}& = \overline{(p+qi)^3}\\&= \overline{ (p^3 -3pq^2) +(3p^2 q -q^3)i } =(p^3 -3pq^2) -(3p^2q -q^3)i  \\&=(p-q i)^3=(\overline{z})^3 \end{aligned}$

(3) 또, 복소수 $\displaystyle z_1 ,~z_2$에 대하여

$\displaystyle \overline{z_1 \pm z_2}= \overline{z_1}\pm\overline{z_2}$

임을 먼저 증명하자.

복소수 $\displaystyle z_1 =p_1 +q_i i ,~z_2= p_2 +q_2 i$ ($\displaystyle p_1 ,~p_2,~q_1 ,~q_2$는 실수)라 두자.

$\displaystyle \begin{aligned} \overline{z_1 \pm z_2}&= \overline{(p_1 + q_1 i)\pm(p_2 +q_2 i)}\\&= \overline{ (p_1 \pm p_2) +(q_1 \pm q_2)i }\\&= (p_1 \pm p_2 ) -(q_1 \pm q_2 )i \\&= (p_1 -q_1 i )\pm  (p_2 -q_2 i) \\&=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\end{aligned}$

(1), (2)의 성질과 위의 성질을 이용하자.

방정식 $\displaystyle x^3+p x^2+q x+r=0$ 의 한 허근이 $\displaystyle z$이므로 이를 대입하면

$\displaystyle z^3+p z^2+q z+r=0$

위의 복소수에 켤레복소수(bar)를 씌우고 $\displaystyle p,~q,~r$이 실수임을 이용하여 (1)의 성질을 사용하고 (2)의 성질을 이용하면

$\displaystyle\begin{aligned}  \overline{0}&= \overline{z^3+p z^2+q z+r}\\& =\overline{z^3}+\overline{p z^2}+\overline{q z}+\overline{r}\\&=\overline{z}^3+\overline{p}\overline{  z^2}+\overline{q}\overline{ z}+ {r}\\&=\overline{z}^3+ {p}\overline{  z}^2+ {q}\overline{ z}+ {r} \end{aligned}$

따라서 $\displaystyle \overline{ z}$이 방정식 $\displaystyle x^3+p x^2+q x+r=0$의 근이다. 

$\displaystyle \overline{z}^3+ {p}\overline{  z}^2+ {q}\overline{ z}+ {r} =0$

따라서