(1) 주어진 $\displaystyle x^6 =-1$의 한 근 $\alpha $가 실수라고 가정하면  $\displaystyle (\alpha)^6 =-1$이다.

또, $\alpha $가 실수이므로 $\displaystyle \alpha^2 >0$이다. 따라서

$\displaystyle \alpha^6 =(\alpha^2 )^3 >0$이다. 이는 $\displaystyle (\alpha)^6 =-1$와 모순이다.

따라서 실근이 존재하지 않는다.

(2) $\displaystyle x^6 =-1$에서 인수분해하면

$\displaystyle x^6 +1=(x^2)^3+1= (x^2 +1)(x^4 -x^2 +1)=0$

$\displaystyle \therefore~ x^2 =-1,~ x^4 -x^2 +1=0$

$\displaystyle \omega^2 =-1,~\omega^4 -\omega^2 +1=0$

(i) $\displaystyle \omega^2 =-1$일 때,

\(\displaystyle \omega^2+\omega^4+\omega^6+\omega^8+\omega^{10}+\omega^{12}=(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1=0\)

(i) $\displaystyle \omega^4 -\omega^2 +1=0$일 때,

\(\displaystyle\begin{aligned}& \omega^2+\omega^4+\omega^6+\omega^8+\omega^{10}+\omega^{12}\\&=\omega^2+\omega^4+(-1) + \omega^6 (\omega^2 +\omega^{4}) +1\\& =\omega^2+\omega^4+(-1) + (-1)(\omega^2 +\omega^{4}) +1 \\&=0\end{aligned}\)