정답 \(\displaystyle -1\)

방정식 \(\displaystyle x^3-x^2-k x+k=0  \)을 인수분해하면

\(\displaystyle (x-1)(x^2 -k)=0  \)

\(\displaystyle \therefore ~x=1,~ x^2 -k=0\)

방정식이 한 개의 실근과 두 개의 허근을 가지므로

방정식 \(\displaystyle   x^2 -k=0\)이 허근을 가져야 한다. 따라서

\(\displaystyle {\mathrm D} = 0+4k <0,~\therefore~ k <0\)

정수 \(\displaystyle k\) 의 최댓값은 \(\displaystyle -1\)이다.