삼차방정식의 세 근이 \(\displaystyle \alpha, ~\beta, ~\gamma\)이므로

\(\displaystyle x^3+a x^2+b x+c=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=f(x)\)

라 두면

(1) \(\displaystyle (2+\alpha)(2+\beta)(2+\gamma)=-f(-2)\)이므로 

\(\displaystyle (2+\alpha)(2+\beta)(2+\gamma)=-f(-2)=-(-1+a-b+c)=-1-a+b-c\)

(2) \(\displaystyle  \alpha \)가 \(\displaystyle x^3+a x^2+b x+c=0\)의 근이므로 대입하면

\(\displaystyle \alpha^3+a \alpha^2+b \alpha+c=0\)

\(\displaystyle 1+ \alpha=x \)라 두면 \(\displaystyle  \alpha =x-1\)을 위의 식에 대입하면

\(\displaystyle (x-1)^3+a (x-1)^2+b (x-1)+c=0\)

이를 정리하면

\(\displaystyle x^3 +(-3 +a )x^2 +(3-2a )x+ (-1+a-b+c)=0\)     \(\displaystyle \cdots\cdots\) (i)

(3) (i)의 근은 \(\displaystyle 1+\alpha,~ 1+\beta, ~1+\gamma\)이므로

\(\displaystyle \frac{1}{1+\alpha}, ~\frac{1}{1+\beta}, ~\frac{1}{1+\gamma}\)을 근으로 하는 삼차방정식은

\(\displaystyle 1 +(-3 +a )x +(3-2a )x^2 +(-1+a-b+c)x^3=0\)