(i) $\displaystyle  n=2$ 일 때,

$\displaystyle  (1+h)^2=1+2 h+h^2>1+2 h$

(ii) $\displaystyle  n=k(k \geq 2)$ 일 때,

$\displaystyle  (1+h)^k>1+k h$

성립한다고 가정하자. (1)의 양변에 $\displaystyle  1+h>0$ 를 곱하면

$\displaystyle  
\begin{aligned}
& (1+h)^k(1+h)>(1+k h)(1+h) \\
& (1+h)^{k+1}>1+(k+1) h+k h^2 \\
k \geq 2,~ & h>0 \text { 이므로 } k h^2>0
\end{aligned}
$

따라서
$\displaystyle  
(1+h)^{k+1}>1+(k+1) h+k h^2>1+(k+1) h
$

즉
$\displaystyle  
(1+h)^{k+1}>1+(k+1) h
$

수학적 귀납법에 의해 부등식이 성립한다.
(2) $\displaystyle  r>1$ 이므로 $\displaystyle  r=1+h(h>0)$ 로 두면 베르누이 부등식에 의해
$\displaystyle  
r^n=(1+h)^n>1+n h
$

이다. 또, $\displaystyle  h>0$ 이므로 $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty}(1+n h)=\infty$ 이므로
$\displaystyle  
\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} r^n=\infty
$