(1) 급수 $\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 가 수렴하는 경우 $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ 이다.

(증명) 급수 $\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 의 부분합을 $\displaystyle  S_n$ 이라 하면 급수가 $\displaystyle  S$ 에 수렴한다고 가정하면 $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=S$ 이다. 또, $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n-1}=S$ 이다. 따라서
$\displaystyle  
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n & =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(S_n-S_{n-1}\right) \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} S_n-\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n-1} \\
& =S-S=0
\end{aligned}
$

반례)역이 성립하지 않는 예는 $\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n},~ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}},~ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$ 등이 있 다.

(2) 무한급수 $\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|=S$ (실수)로 수렴한다고 가정하자. 그러면 $\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty} 2\left|a_k\right|$ 과 수렴하고, 또, (2)과 $\displaystyle  0 \leq\left|a_k\right|-a_k \leq 2\left|a_k\right|$ 에 의해 $\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\left(\left|a_k\right|-a_k\right)=T$ (실수)로 수렴한다.
따라서
$\displaystyle  
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{\infty} a_k & =\sum_{k=1}^{\infty}\left\{\left|a_k\right|-\left(\left|a_k\right|-a_k\right)\right\} \\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right|-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\left|a_k\right|-a_k\right) \\
& =S-T
\end{aligned}
$

이므로 수렴한다.

(3) $\displaystyle  a_n=\int_2^n \frac{1}{x(\ln x)^2} d x$ 을 이용해서

무한급수 $\displaystyle  \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(\ln k)^2}$ 의 부분합 $\displaystyle  \sum_{k=2}^n \frac{1}{k(\ln k)^2}$ 은
아래 그림에서 보듯이 다음이 성립한다.

$\displaystyle  
\begin{aligned}
\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(\ln k)^2} & =\frac{1}{2(\ln 2)^2}+\sum_{k=3}^n \frac{1}{k(\ln k)^2} \\
& \leq \frac{1}{2(\ln 2)^2}+a_n \\
& =\frac{1}{2(\ln 2)^2}+\int_2^n \frac{1}{x(\ln x)^2} d x
\end{aligned}
$

또, $\displaystyle  a_n=\int_2^n \frac{1}{x(\ln x)^2} d x$ 을 계산하자. $\displaystyle  \ln x=t$ 로 치환하면
$\displaystyle  
\begin{aligned}
a_n & =\int_2^n \frac{1}{x(\ln x)^2} d x \\
& =\int_{\ln 2}^{\ln n} \frac{1}{t^2} d t=\left[-\frac{1}{t}\right]_{\ln 2}^{\ln n}
\end{aligned}
$

$\displaystyle  
=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 2}<\frac{1}{\ln 2}
$

이므로 (i)는
$\displaystyle  
\begin{aligned}
\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(\ln k)^2} & \leq \frac{1}{2(\ln 2)^2}+\int_2^n \frac{1}{x(\ln x)^2} d x \\
& =\frac{1}{2(\ln 2)^2}+\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln n} \\
& <\frac{1}{2(\ln 2)^2}+\frac{1}{\ln 2}
\end{aligned}
$

이므로 부분합 $\displaystyle  \sum_{k=2}^n \frac{1}{k(\ln k)^2}$ 은 위로 유계이고 일반항이 $\displaystyle  \frac{1}{n(\ln n)^2} \geq 0$ 이므로 $\displaystyle  \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(\ln k)^2}$ 은 수렴한다.
(4) (a) $\displaystyle  n \geq 2$ 에 대하여 $\displaystyle  \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{(n-1) n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ 이므로 $\displaystyle  \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots$ 의 부분합 $\displaystyle  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ 에 대하여 $\displaystyle  \frac{1}{n^2}>0$ 이고
$\displaystyle  
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} & =\frac{1}{1^2}+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{1^2}+\sum_{k=2}^n \frac{1}{(k-1) k} \\
& \leq \frac{1}{1^2}+\sum_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right) \\
& =1+1-\frac{1}{n}<2
\end{aligned}
$

이므로 (2)에 의해 $\displaystyle  \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots$ 은 수렴한다.
(b) $\displaystyle  \frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots$ 에서 일반항 $\displaystyle  a_n$ 은 $\displaystyle  a_n=(-1)^{n-1} \frac{1}{n^2}$ 이고 $\displaystyle  \left|a_n\right|=\frac{1}{n^2}$ 이므로
(a)에 의해 $\displaystyle  \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 이 수렴하므로

(2)에 의하여 $\displaystyle  \frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots$ 은 수렴한다.
(5) 두 급수 $\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\left(2 a_k+3 b_k\right)$ 과 $\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k-2 b_k\right)$ 가 수렴한다고 가정하면 (1)에 의 해
$\displaystyle  
\lim _{k \rightarrow \infty}\left(2 a_k+3 b_k\right)=0,~ \lim _{k \rightarrow \infty}\left(a_k-2 b_k\right)=0
$

이다. $\displaystyle  p_k=2 a_k+3 b_k,~ q_k=a_k-2 b_k$ 라 두면
$\displaystyle  
a_k=\frac{2 p_k+3 q_k}{7},~ b_k=\frac{p_k-2 q_k}{7}
$

이고 $\displaystyle  \lim _{k \rightarrow \infty} p_k=\lim _{k \rightarrow \infty} q_k=0$ 이므로 $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=\lim _{n \rightarrow \infty} b_n=0$ 이다.