(1) 수학적 귀납법으로 증명하자.

먼저 $\displaystyle  a_1=4>3$ 이므로 $\displaystyle  n=1$ 일 때, 성립한다.
$\displaystyle  a_k>3$ 이라고 가정하면 산술기하평균에 부등식에 의해
$\displaystyle  
a_{k+1}=\frac{1}{2}\left(a_k+\frac{9}{a_k}\right) \geq \sqrt{a_k \times \frac{9}{a_k}}=3
$

여기서 등호는 $\displaystyle  a_k=\frac{9}{a_k}$ 일 때, 즉 $\displaystyle  a_k=3$ 일 때 성립하므로 위의 부등식은 등 호가 성립하지 않는다. 즉,
$\displaystyle  
a_{k+1}>3
$

따라서 수학적 귀납법에 의해 증명되었다.
(2) $\displaystyle  a_n>3$ 이므로 $\displaystyle  1-\frac{3}{a_n}<1$ 임을 이용하면
$\displaystyle  
\begin{aligned}
a_{n+1}-3 & =\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{9}{a_n}\right)-3 \\
& =\frac{1}{2} \frac{\left(a_n^2-6 a_n+9\right)}{a_n}=\frac{1}{2} \frac{\left(a_n-3\right)^2}{a_n} \\
& =\frac{1}{2} \frac{a_n-3}{a_n}\left(a_n-3\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{3}{a_n}\right)\left(a_n-3\right) \\
& <\frac{1}{2}\left(a_n-3\right)
\end{aligned}
$
(3) 위의 점화식에 $\displaystyle  n=1,~2,~3,~ \cdots$ 을 대입해서 정리해보면
$\displaystyle  
a_2-3<\frac{1}{2}\left(a_1-3\right)=\frac{1}{2}
$

$\displaystyle  
a_3-3<\frac{1}{2}\left(a_2-3\right)<\left(\frac{1}{2}\right)^2
$

즉,
$\displaystyle  
\begin{gathered}
a_3-3<\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\
\vdots \\
a_n-3<\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
\end{gathered}
$

또, (1)에서 $\displaystyle  a_n>3$ 이므로
$\displaystyle  
0<a_n-3<\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
$

여기서 $\displaystyle  \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=0$ 이므로

$\displaystyle  
\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=3
$