정답 $21$개

$f(x)$ 를 $x-n$ 으로 나눈 나머지는

$\begin{aligned}f(n) & =2 n^3-3 n^2+1 \\& =(n-1)^2(2 n+1)\end{aligned}$

따라서 $(n-1)^2(2 n+1)$ 이 자연수의 제곱이 되는 $1000$ 이하의 자연수 $n$ 을 찾 으면 된다.

(i) $n=1$ 일 때, $(n-1)^2(2 n+1)=0$ 이므 로 조건을 만족시키지 않는다.

(ii) $n>1$ 일 때, $(n-1)^2(2 n+1)$ 이 자연 수의 제곱이 되려면 $2 n+1$ 이 자연수의 제곱이어야 한다.

$2 n+1$ 은 3 보다 큰 홀수이므로 자연수 $k$ 에 대하여

$\displaystyle 2 n+1=(2 k+1)^2$

$\displaystyle  \therefore ~n=2 k^2+2 k=2 k(k+1)$

$\displaystyle  n \leq 1000$ 이므로 $\displaystyle  2 k(k+1) \leq 1000$

$\displaystyle  \therefore~ k(k+1) \leq 500$

$\displaystyle  k=21$ 일 때, $\displaystyle  21 \times 22=462<500$

$\displaystyle k=22$ 일 때, $\displaystyle  22 \times 23=506>500$

따라서 조건을 만족시키는 $k$ 는

$\displaystyle  k=1,~2,~3, ~\cdots, ~21$ 의  $21$ 개이다.

(i), (ii)에서 구하는 $\displaystyle  n$ 의 개수는 ${2 1}$