정답 : $\displaystyle  \frac{3}{4}$

[풀이]

\(\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}\) 의 넓이를 \(\displaystyle S\) 라고 하면 \(\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}: \overline{\mathrm{PC}}=(1-k): k\) 이므로

$\displaystyle \triangle \mathrm{ABP}=\frac{1-k}{(1-k)+k} S=(1-k) S$

또, \(\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}: \overline{\mathrm{QP}}=(1-k): k\) 이므로

$\displaystyle S_1=\frac{1-k}{(1-k)+k} \triangle \mathrm{ABP}=(1-k)^2 S$

마찬가지로

$\displaystyle \triangle \mathrm{APC}=\frac{k}{(1-k)+k} S=k S$

이므로

$\displaystyle S_2=\frac{k}{(1-k)+k} \triangle \mathrm{APC}=k^2 S$

이때, \(\displaystyle S_2=9 S_1\) 이므로

$\displaystyle k^2 S=9(1-k)^2 S $

$\displaystyle S \neq 0 $ 이므로 $\displaystyle k^2=9(1-k)^2 $

$\displaystyle \therefore ~8 k^2-18 k+9=0$

$\displaystyle \therefore(2 k-3)(4 k-3)=0 $

$\displaystyle 0<k<1 $ 이므로 $\displaystyle k=\frac{3}{4}$