[정답] $\displaystyle 5 i$

이차방정식 $\displaystyle x^2+2 p x+3 p^2-9 p+9=0$ 의 서로 다른 두 실근 $\displaystyle \alpha, \beta$ 를 가지므로 판별식 $\displaystyle \frac{D}{4}=p^2-3 p^2+9 p-9>0$ 이므로 정리하면 $\displaystyle 2 p^2-9 p+9<0$

$\displaystyle \frac{3}{2}<p<3$ 이므로 정수 $\displaystyle p=2$ 가 된다.

그러므로 이차방정식 $\displaystyle x^2+2 p x+3 p^2-9 p+9=0$ 는 $\displaystyle x^2+4 x+3=0$ 이므로 두 근은 $\displaystyle x=-1,~-3$ 이므로
$\displaystyle \sqrt{\alpha^3+\beta^3+3}=\sqrt{-25}=5 i$