[정답] \(\displaystyle 5 i\)

이차방정식 \(\displaystyle x^2+2 p x+3 p^2-9 p+9=0\) 의 서로 다른 두 실근 \(\displaystyle \alpha, \beta\) 를 가지므로 판별식 \(\displaystyle \frac{D}{4}=p^2-3 p^2+9 p-9>0\) 이므로 정리하면 \(\displaystyle 2 p^2-9 p+9<0\)

\(\displaystyle \frac{3}{2}<p<3\) 이므로 정수 \(\displaystyle p=2\) 가 된다.

그러므로 이차방정식 \(\displaystyle x^2+2 p x+3 p^2-9 p+9=0\) 는 \(\displaystyle x^2+4 x+3=0\) 이므로 두 근은 \(\displaystyle x=-1,~-3\) 이므로
\(\displaystyle \sqrt{\alpha^3+\beta^3+3}=\sqrt{-25}=5 i\)